三角题求助
证明：tan1tan2+tan2tan3......tan(n-1)tan(n)=tan(n)/tan1-n
参考答案:这道题我很有兴趣，但开始变形的时候，确实遇到了一些麻烦。直接对tan1tan2等变形，似乎找不到出路。
于是我令等号左边为f(n-1),右边为g(n)只要证明f(n-1)与g(n)恒等即可
运用数学归纳法：
1。当n=1时 f(1)=tan1tan2=g(2)=tan2/tan1-1 (用三角公式很容易证明)
2。当n=k时 假定f(k)=g(k+1)
3. 当n=k+1时 f(k+1)-f(k)=tan(k+1)tan(k+2)
g(k+2)-g(k+1)=[tan(k+2)-tan(k+1)]/tan1-1
tan(k+2)-tan(k+1)=tan1(1+tan(k+2)tan(k+1) 代入(正切差角公式)
所以 g(k+2)-g(k+1)=[tan(k+2)-tan(k+1)]/tan1-1
=tan(k+1)tan(k+2)=f(k+1)-f(k)
所以 f(k+1)=g(k+2)
综上所述，f(n-1)=g(n)
证毕
当然你可以直接变形 tan(n-1)tan(n)=[tan(n)-tan(n-1)]/tan1-1
然后代入，裂项相消。
但用数学归纳法，思路比较清晰