设n是正整数,0<x≤1,在△ABC中,如果AB=n+x,BC=n+2x,CA=n+3x,BC边上的高AD=n,那么这样的三角形共有几个?
A.10个
B.11个
C.12个
D.无数个
答案为C,为什么呢?
参考答案:解：
已知n是正整数,0<x≤1，AB=n+x,BC=n+2x,CA=n+3x，可知在△ABC的三个角中，∠C最小，根据余弦定理，得
AB^2=BC^2+CA^2-2BC*CA*cosC
cosC=（BC^2+CA^2-AB^2）/（2BC*CA）
=[（n+2x）^2+（n+3x）^2-（n+x）^2]/[2*（n+2x）*（n+3x）]
=(n+6x)/[2*(n+3x)]
在RT△ADC中
CD=CA*cosC=（n+3x）*(n+6x)/[2*(n+3x)]=（n+6x）/2
根据勾股定理，得
CA^2=AD^2+CD^2
（n+3x）^2=n^2+（n+6x）^2/4
n=12x
x=n/12
0<x≤1
0<n/12≤1
0<n≤12
因n是正整数，故这样的三角形最多共有12个。