请证明一下摩莱三角形,用初中知识
AE CE交E
BD CD交D
AF BF交F 记A=3α，B=3β，C=3γ，AE=m，AF=n，△ABC的三边长为a、b、c．
由于3α+3β+3γ=180°．
所以α+β+γ=60°．α+β=60°-γ
而nsin(α+β)=csinβ
所以n=csinβ/sin(α+β)=csinβ/sin(60-γ)
类似地m=bsinγ/sin(60-β)
在△ABC中有bsin3γ=csin3β，
从而
m/n
=(sin3β*sinγ*sin(60-γ))/(sin3γ*sinβ*sin(60-β))
=(sin(60+β))/(sin(60+γ))
由于α+β+γ=60°．
所以存在以60°+β，60°+γ和α为内角的三角形，
夹α角的两边之比为 (sin(60+β))/(sin(60+γ))=m/n
△EAF与这三角形相似，
从而 ∠AFE=60°+β ∠AEF=60°+γ
同法可证∠BFD=60°+α，
而 ∠AFB=180°-(α+β)
因此 ∠EFA+∠AFB+∠BFD=(60°+β)+(180°-α-β)+(60°+α)=300°
所以∠DFE=60°．
类似地，△DEF的另两个内角也为60°． 因此△DEF是等边三角形．