什么是角亏定理
勒戎得不仅在分析和力学方面有出名的工作，在几何方面也很有成就．1794年他的著作《几何原理》对后来的教科书有很大的影响．他试证第五公设时讨论了三种互相排斥的假定：
I．三角形的内角和大于两直角，
II．三角形的内角和等于两直角，
III．三角形的内角和小于两直角．
他用正确的推理把第一个假定推向矛盾，若能把第三个假定也引向矛盾，那就证明了三角形内角和等于两直角．同时也就证明了第五公设．可惜在把第三个假定引向矛盾时，他自己不觉察用上一个与第五公设等价的命题．
定理I 如果每个三角形的内角和等于二直角，则第五公设成立．
证明 设每个三角形的内角和为二直角，又设 为一直线， 为其外一点。求证通过 只有一直线与 不相交．
作 于 ，并过 作直线 ，我们知道 与 不相交．
设 是通过 的任意直线，而 是 与线段 所成的锐角．我们来证明直线 与直线 相交在锐角所在的一侧．为此，在直线 上锐角所在的一侧作点 使 ．再在同一侧作 使 ．一般，作点 使 我们来观察三角形 因为假设每个三角形的内角和为 ，所以在等腰 中，顶点为 和 的内角都等于 由此推出 中顶点为 的内角等于 一般，在 中顶点为 的内角等于 因之
既然设 为锐角，就有 ，其中 ．取 充分大，使
于是有
这样，直线 夹在 的边 和 中间，因此它与直线 应相交于点 与 之间．即是说，通过 只有直线 与 不相交．证完．
现在让我们回过来讨论三角形的内角和问题，并引进两符号．
设 为一三角形，则
分别称为这三角形的角和和角亏（亏值）．
定理II 在每个三角形 中， ．
证明 设 的内角为 , , ,并设定理的反面成立：
延长边 ，并在其上作 个三角形 ，使与 都合同．以 表示角 ，则
易见三角形 都合同，因之
由于 和 有两边分别相等而夹角不等，因之有 ．写出折线 的长度大于封闭线段 ，得
因
可见若定理II的反面成立，那么不论正整数 为何值总有
与阿基米德公理抵触．因此定理II得到反证．
注意：在此证法中用过阿基米德公理，曾无限延长一直线，因之在非阿基米德空间或空间不是无穷的，定理II就未必成立．
定理III 只要有一个三角形的内角和等于二直角，那么每个三角形的内角和等于二直角．
先证几个引理．
引理1 设 被截线 分为两个三角形，则它的角亏等于两个部分三角形的角亏之和．
事实上，
因之
．
引理2 设 是 边 上的点，则 的角亏不会超过 的角亏．
事实上，由定理II，三角形的角亏是大于或等于零的，于是由引理1得
所以 ．
引理3 设在两个直角三角形 和 中，直角边 和 分别大于直角边 和 ，并设 的内角和为两直角，则 的内角和也等于两直角．
移动 使 重合于 且 分别落在 上 处．由引理2，
由假设 ，又由定理II， ．可见
引理4 设有一个直角三角形内角和为二直角，则每个直角三角形的内角和都是二直角．
我们来讨论两个直角三角形 和 ．已知 的内角和为二直角，要证 内角和也是二直角．如果前者两条直角边分别大于后者的直角边，则结论由引理3立刻得到．如果 至少有一条直角边短于 的直角边，则为了证明引理4，我们可作出一个新的直角三角形使其内角和象 一样等于两直角，而它的直角边有充分大的长度．这只要在 旁添加一个全等的 ，使斜边重合而所得的四边形对边相等．因 和 的内角和都等于两直角，显而易见四边形的内角都是直角．于是移动就可用相等的矩形铺满平面．
容易知道图上用粗线表示的是矩形，用对角线分它成两个全等的直角三角形，它们的内角和都等于两直角．这样的直角三角形的直角边，显然可以做到有适当的长度．
既然可以作出一个直角三角形，其内角和为二直角，而其直角边都大于 的直角边，应用引理3，可知随意取的直角三角形 的内角和等于两直角．
我们已可证明定理III了：只要有一个三角形它的内角和等于两直角，则每个三角形的内角和都是二直角．
设有 和 ，已知 ，求证
作出两个三角形所有的高，其中至少各有一个顶点的高它的垂足落在对边上而不在边的延长线上．分别取适当的记号，无妨设这样的顶点在 是 ，而在 是 ．
记所说的高为 和 ．按引理2，
由假设， 而定理II， 所以得 ，即 ．
既有了一个直角 其内角和为 ，按引理4有
相加得 ．
确立了定理I-III，人们自然想方设法证明这样一个命题：有一个三角形存在，它的内角和等于二直角．因为如果这样一个三角形找到了，按定理III，每个三角形的内角和都是二直角，再应用定理I，就证出第五公设了．
下面是这命题的一个错误的证明，请注意错在何处．
设有任一锐角 ，取其一边上一点 向另一边作垂线 ．由定理II， 的内角和不会超过二直角，即 ．我们要证明的是 ．
假如相反地 ，在边 上取点 使有 ，联 ，并在 作直线 的垂线．此垂线与直线 的交点用 表示．由引理1，
跟 合同，因此 ，而
再在已知角的边 上取点 使 ，在 引 的垂线，用 表示它与直线 的交点．仿上得
．
继续如此，我们作出 满足
取充分大的 使 ，就得出 ．但三角形的角亏不可能大于 ．所以反证了 ．由上所说，第五公设也就证明