试比较ㄧg(x1)-g(x2)ㄧ与ㄧx1-x2ㄧ大小~~题目如下
已知函数y=x²-1(x≥1)的图像为C1，y=g(x)的图像为C2,C1与C2关于直线y=x对称，又y=g(x)的定义域为M，对于x1,x2∈M，且x1≠x2，试比较ㄧg(x1)-g(x2)ㄧ与ㄧx1-x2ㄧ大小。
要过程及答案
参考答案:g(x)是y=x²-1的反函数
则g(x)=(x+1)^0.5
对g(x)求导得g'(x)=1/[2(x+1)^0.5]>0
所以g(x)为增函数
令x1>x2
ㄧg(x1)-g(x2)ㄧ=g(x1)-g(x2),ㄧx1-x2ㄧ=x1-x2
ㄧg(x1)-g(x2)ㄧ/ㄧx1-x2ㄧ
=[g(x1)-g(x2)]/(x1-x2)
=[(x1+1)^0.5-(x2+1)^0.5]/(x1-x2) 上下同时乘以(x1+1)^0.5+(x2+1)^0.5
=(x1-x2)/{(x1-x2)*[(x1+1)^0.5+(x2+1)^0.5]}
=1/[(x1+1)^0.5+(x2+1)^0.5]
因为M≥0,x1,x2∈M，x1≠x2
所以(x1+1)^0.5+(x2+1)^0.5>2
所以1/[(x1+1)^0.5+(x2+1)^0.5]<1
即ㄧg(x1)-g(x2)ㄧ/ㄧx1-x2ㄧ<1
所以ㄧg(x1)-g(x2)ㄧ<ㄧx1-x2ㄧ