等差数列{An}的前n项和Sn的最大值为S7,且|a7|<|a8|.求使Sn>0的的最大值.
设公差为d,首项为a。
通项 an=a+(n-1)d
Sn存在最大值,所以 a>0, d<0
最大值取在 n=7,所以
a7=a+6d>0
a8=a+7d<0
-6d<a<-7d
因为|a7|<|a8|
所以 a+6d<-a-7d
2a<-13d
与-6d<a<-7d联立,得到
-12d<2a<-13d
前n项和表达为
Sn=n[2a+(n-1)d]/2
显然Sn的符号决定于 2a+(n-1)d 的符号。
n=13时,2a+12d>0
n=14时,2a+13d<0
因此使Sn>0的n的最大值为13