求证99...9(n个）乘以任意一个不大于它的正整数，得数各位上数字之和为9n
证明：因为99...9(n个）=100...0(n个0)-1，设这个不大于它的正整数为M，则有
99...9×M ---------------注：9与0的个数都是n个，为方便起见，此处省略，不再注明；
=(100...0-1)×M
=100...0×M-M ---------------注：M与100...0相乘后的多位数实际就是M00...0，如567×100=56700；
=M00...0-M
假定M是一个k位数A1A2...Ak，其中1，2...，k是a的下标，且1≤k≤n。
列一竖式，得
A1A2..Ak000000...00
- A1A2...Ak
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(竖式中0的个数是n个，减数A1A2...Ak的位数最多是n位)
(1)当M的个位数Ak≠0时，由右往左作减法计算，差的个位是10-Ak，由于连续向高位数借位，所以此后都是9分别去减A1、A2、...、Ak。因此，差的十位是9-A(k-1)，百位是9-A(k-2)，...依次类推，直到9-A1为止，此时的差值的各位数之和是：A1+A2+...+Ak-1+9*(n-k)+9-A1+9-A2+...+10-Ak=9*(n-k)+9*k=9n，命题成立。
注明：上面的A(k-1)、A(k-2)中的(k-1)、(k-2)等都是下标。被减数A1A2..Ak000000...00中的Ak还要借一位给后面的0，所以上述前面的Ak要减1。
(2)不论M的末尾有多少个0，对乘积的各位数字之和不会产生影响。所以先把0放在一边，用去掉0后的数去乘以99...9(n个），此时证法同（1）一样。
综上，命题成立！！！！！！！
由于在电脑里，竖式不好列，所以请楼主在草稿纸上列一个竖式，方便理解。