已知数列前n项和Sn=n(a1+an)/2，如何证明该数列为等差数列
解:第一种方法:
①an+1=Sn+1-Sn
②an=Sn-Sn_1(n≥2)①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn_1-2Sn
=(n+1)(a1+an+1)/2+(n-1)(an+an_1)/2-n(a1+an)
=1/2[(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan]
可得2(an+1-an)=(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan(n≥2)
整理可得2(n-1)an=(n-1)an+1+(n-1)an_1(n≥2)
即2an=an+1+an_1(n≥2)
根据等差数列的特性可知:此数列为等差数列
第二种方法:
已知等差数列前n项的和为
Sn=na1+n(n-1)d/2(n≥1,d为等差)
=na1/2+[na1+n(n-1)d]/2
=na1/2+n[a1+(n-1)d]/2
=na1/2+nan/2
=n(a1+an)/2
即等差数列Sn=na1+n(n-1)d/2=n(a1+an)/2(n≥1,d为等差)
所以前n项和Sn=n(a1+an)/2的数列为等差数列