一道初一奥数题
你能在3*3的方格表中,每个格子里填上一个自然数,使得每行、每列及对角线上的三个数之和都等于1997吗?若能,请填出一例;若不能,请说明理由
参考答案:不能。
反证法。如果有,
设四个角的数为 A B C D ,中心的数为O,其它四个数为a b c d ,如图
A a B
d O b
D c C
第一行 A+a+B=1997
第二行 d+O+b=1997
第三行 D+c+C=1997
三式相加 a+b+c+d+A+B+C+D+O=1997*3 ①
横十字相加 a+O+c=1997 ②
b+d+c=1997 ③
斜十字相加 A+O+C=1997 ④
B+O+D=1997 ⑤
②+③+④+⑤=a+b+c+d+A+B+C+D+4*O=1997*4 ⑥
⑥-①得 3*O=1997 O=1997/3
因为1997不能被3整除,故O不能取得自然数,与题意矛盾。故假设错误。