若a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=0,求证:a,b,c三个数中至少有两个数相等.有步骤!!
若a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=0,求证:a,b,c三个数中至少有两个数相等.有步骤!!
参考答案:解:原式进行变换
a²b-a²c+b²c-b²a+c²a-c²b=0
(b-c)a²-(b²-c²)a+b²c-c²b=0
(b-c)a²-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)=0
(b-c)(a²-(b+c)a+bc)=0
可知:b-c=0.............①
或者:a²-(b+c)a+bc=0....②
由①得:b=c
②是关于a的一元二次方程,有:a={(b+c)±√{[-(b+c)]²-4bc}}/2
a=[b+c±√(b-c)²]/2
当b>c时,a1=(b+c+b-c)/2=b;a2=(b+c-b+c)/2=c
当b<c时,a1=(b+c+c-b)/2=c;a2=(b+c-c+b)/2=b
可见,不管是b>c,还是b<c,总有a=b或者a=c
这里为什么不讨论b=c呢?因为被b=c时,②式可以不成立。
综合上述方程①和②可知,要么b=c,而当b≠c时,有a=b或者a=c
所以a、b、c三个数中,至少有两个数相等。
这个答案比满意吗?