已知x,y都大于等于零，求证1/2（x+y)^2+1/4(x+y)>=x√y+y√x
已知x,y都大于等于零，求证1/2（x+y)²+1/4(x+y)>=x√y+y√x
参考答案:欲证原不等式成立,即证(x+y)(x+y+1/2)>=2x√y+2y√x
即 (x+y)(x+y+1/2)>=2√(xy)*(√x+√y).
由于x+y>=2√(xy),且2√(xy)>=0,故只需证 x+y+1/2>=√x+√y成立即可.
令√x=m,√y=n,则证m²+n²+1/2>=m+n,其实仔细观察就可看出此式是成立的.
因为 m²+n²-m-n+1/2=(m-1/2)²+(n-1/2)²>=0,所以m²+n²+1/2>=m+n成立.
故原不等式成立.