函数判断题
函数f(x)=x^2+2bx+c(c< b< 1)，f(1)=0，且方程f(x)+1=0有实根，(1)证明:-3< c≤-1且b≥0 (2)若m是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m-4)正负并证明
参考答案:第一小题
由f(1)=0得
1+2b+c=0……（1）
另一方面，由x^2+2bx+c+1=0有实根
知判别式4b^2-4(c+1)≥0
即
b^2≥c+1……（2）
由（1）（2）消去b，即
[(-c-1)/2]^2≥c+1
化简得c^2-2c-3≥0
解得c≤-1或c>3（不符于题设中c<b<1，舍去）
另外，由（1）及题设
0=1+2b+c<1+2+c
得c>-3
又-1-2b=c≤-1
得b≥0
综上-3<c≤-1且b≥0
第二小题
由于m^2+2bm+c+1=0……（3）
或写成(m+b)^2=b^2-c-1
从而
f(m-4)=(m-4)^2+2b(m-4)+c+1=m^2+(2b-8)m+(17-8b+c)
=(-1-c-2bm)+(2b-8)m+(17-8b+c)
=16-8(m+b)
=16+(或-)(b^2-c-1)^(1/2)
=16+(或-)(1/2)[(c^2-2c-3)^(1/2)]
而易证函数g( c )=c^2-2c-3在c取(-3,1]上的数时，总有
g( c )<g(-3)=12
从而
f(m-4)
=16+(或-)(1/2)[(c^2-2c-3)^(1/2)]
≥16-(1/2)[(c^2-2c-3)^(1/2)]
>16-(1/2)*(2根号3)
>0
故它为正
解答较长，中间可能有些错漏，但希望你能看明白