求一道数学竞赛题！
题目大致是说：一个村子里有一群人，最开始有几个人感冒。（没感冒的人接触到感冒了的人后，第二天就会得感冒，第三天就会好，而且他在第三天会对感冒免疫。）当第一天感冒的人不多，且没感冒的人都没有免疫时，感冒会在一段时间后灭绝。但当第一天有一个人有免疫时，感冒反而一直不会灭绝……
求这道题题目的详情和解答！
参考答案:这题我见过，大意如下
若第一天有人免疫，构造一例子即可
A感 B免 C好 另ABC互相串门接触
A免 B好 C感
A好 B感 C免
A感 B免 C好
成周期
若无人免疫
用图论做，点表示人，边表示两人互相接触（病沿此边传播）
将点划分A0， A1， A2等
A0 为第一天感冒的人
A1 与A0至少一人接触
A2 与A0每点距离大于等于二，且与A0至少有一个点距离是二
依次类推
于是点集被划分成有限多集合 A0 A1 A2 An
则第一天感冒A0，第二天感冒A1 等等
第K+1天感冒Ak（事实上可归纳证明，对K－1成立则对K成立，
分两方面证 Ak第K+1天感冒 和 第K+1天感冒Ak中，都很容易）
则第N天An－1病 第N＋1天An病 第N＋2天An好
An－1有免疫力在第N＋2天无人生病．