一道高2数学题
题目:|X|=KX+1只有一个正数解,求K的取值范围?
我这样解:因为X>0 所以原式可化为:X=KX+1, 即K=(X-1)/X 因为X>0 所以(X-1)/X 的值域为X<1 所以K=(X-1)/X<1且K不等于0 这种解法是错的但不知道错哪里了? 那位高手指点下!! 谢谢 正解为X<-1(可以画图得到)
参考答案:你的解法有问题。(不要嫌多哦,为了讲清楚吗)
你式中K=(X-1)/X 因为X>0 所以(X-1)/X 的值域为X<1是错误的。X>0 并不能推出(X-1)/X 的值域为K<1，(用简单的方法比如X=1/2时，(X-1)/X 的值域为K<-1，与你的答案不一致；另外，通用的解法是将(X-1)/X化简为1-1/x,已知x>0应分两部分来讨论，（1）0<x<1,当x无限接近0时，1-1/x的值是负无穷小的。（2）x>1,随着x的不断增大，1-1/x无限接近1)
正确解法应是：
|X|=KX+1 两边平方
X^2=(KX+1)^2
X^2=K^2*X^2+2KX+1
K^2*X^2+2KX+1-X^2=0
(K^2-1)*X^2+2KX+1=0
因为该方程只有一个正数解，所以应该将它通过配方配成完全平方式：
即：(K^2-1)*X^2+2KX+1=0
(K^2-1)[X^2+2KX/(K^2-1)+1/(K^2-1)]=0
K^2-1不等于0，因为K^2-1=0时，X就可以是任何实数，这与题意不符）即：
X^2+2KX/(K^2-1)+1/(K^2-1)=0
X^2+2KX/(K^2-1)+[K/(K^2-1)]^2+1/(K^2-1)-[K/(K^2-1)]^2=0
(X+K/(K^2-1))^2+(K^2-1)/(K^2-1)^2-K^2/(K^2-1)^2=0
(X+K/(K^2-1))^2+(K^2-1-K^2)/(K^2-1)^2=0
(X+K/(K^2-1))^2-1/(K^2-1)^2=0
(X+K/(K^2-1))^2=1/(K^2-1)^2
即：
X+K/(K^2-1)=1/(K^2-1)或
X+K/(K^2-1)=-1/(K^2-1)
(1)
当X+K/(K^2-1)=1/(K^2-1)
X=1/(K^2-1)-K/(K^2-1)
X=(1-K)/(K^2-1)=-(K-1)/(K+1)(K-1)=-1/(K+1)
而X>0
所以：-1/(K+1)>0
K+1<0
K<-1(1式）
(2)
当X+K/(K^2-1)=-1/(K^2-1)即：
X=-1/(K^2-1)-K/(K^2-1)
X=-(K+1)/(K^2-1)=-(K+1)/(K+1)(K-1)=-1/(K-1)
而X>0
所以：-1/(K-1)>0
K-1<0
K<1（2式）
对（1）、（2）两式的结果取交集（即要使X>0时，K的取值都满足）
即：K<-1