数学难题
已知11111……111(有N个1)=10的N次方减1的差除以9的商,试说明:111111……111(有N个1)222222……222(有N+1个2)5=(333333……33335)(有N个3)的平方.
参考答案:11…【n个】…1=(10^n-1)/9=(100…【n个】…0-1)/9 已知条件略做变形
∴99…【n个】…9=10^n-1=100…【n个】…0-1
∴(333…【n个】…35)^2
=(333…【n个】…35)×(333…【n个】…36)-(333…【n个】…35) 『想到这步变化主要是观察333……5这个数得到的,如果能提出个3来,就可能凑出999……9这样的形式』
=(333…【n+1个】…3)×(333…【n个】…36)+2×(333…【n个】…36)-(333…【n个】…35)『也是为了凑999……9这个形式,如果出现进位就不好处理了,所以想到拆数』
=(999…【n+1个】…9)×(111…【n个】…12)+2×(333…【n个】…36)-(333…【n个】…35)『只是挪了个3的位置,下面就用到开始导出来的那个结论了』
=(10^(n+1)-1)×(111…【n个】…12)+2×(333…【n个】…36)-(333…【n个】…35) 『9的个数是n+1个,所以10的次数也是n+1』
=111…【n个】…12000…【n+1】…0-(111…【n个】…12)+2×(333…【n个】…36)-(333…【n个】…35) 『这时离答案已经非常接近了,后面都是整理的功夫』
=111…【n个】…12000…【n+1】…0-1×(111…【n个】…12)+6×(111…【n个】…12)-(333…【n个】…35)
=111…【n个】…12000…【n+1】…0+5×(111…【n个】…12)-(333…【n个】…35)
=111…【n个】…1,2,000…【n+1】…0+222…【n个】…25『下面这步要算清楚位数了』
=111…【n个】…1,222…【n+1个】…2,5
证明完毕