一道高一数学题
若函数f(x)=a乘以x的平方+bx+c的图象过(1,0),是否存在常数a,b,c使不等式-x≤f(x)≤1/2(1+x的平方)对一切实数x都成立?若存在,求出a,b,c;若不存在,说明理由
参考答案:详细过程:
解:据题意:
f(x)=ax²+bx+c 且 -x≤ax²+bx+c ≤1/2(1+x²)由此得:
ax²+bx+c+x≥0 (1式)
ax²+bx+c-(1+x²)/2≤0 (2式)
对(1式)变形后得:ax²+(b+1)x+c≥0
对于任意的实数x,都有ax²+(b+1)x+c≥0 成立,所以a>0,且函数的最小值=0,即4ac-(b+1)²=0 (3式)
对(2式)变形后得: (a-1/2)x²+bx+c-1/2≤0
对于任意的实数x,都有(a-1/2)x²+(b-1)x+c-1/2≤0 成立,所以a-1/2<0
且函数的最大值=0
即4(a-1/2)(c-1/2)-b²=0 (4式)
又已知函数过点(1,0),所以a+b+c=0 (5式)
由上面的3、4、5式联为方程组得：
a+b+c=0
4ac-b²-2b-1=0 即：4ac-b²=2b+1代入下式
4ac-b²-2a-2c+1=0 得：2b+1-2a-2c+1=0 合并后得：2b+2=2a+2c
由a+b+c=0 即a+c=-b 即2b+2=-2b 解得b=-1/2
利用b=-1/2可得 a+c=1/2 (6式）
由3式得4ac=(b+1)² 即4ac=1/4
即ac=1/16 （7式）
由6式得：c=1/2-a 代入7式得 a(1/2-a)=1/16 即a²-a/2+1/16=0 (正好是完全平方公式(a-1/4)²=0 即 a=1/4
c=1/4
即a=1/4; b=-1/2; c=1/4