关于数列问题
设各项为正数的数列{an}满足Sn=(1/2)(an+(1/an))(n>=1).
1.求证数列{(Sn)^2}是等差数列。
2.求数列{an}的通项公式。
参考答案:1.
n≥2时，有an＝Sn－S(n-1)＝(an＋1/an)/2－(a(n-1)＋1/a(n-1))/2
化简得1/an＝(an＋1/an)/2＋(a(n-1)＋1/a(n-1))/2＝Sn＋S(n-1)
故(Sn)²－(S(n-1))²＝(Sn＋S(n-1))(Sn－S(n-1))＝(1/an)an＝1
又a1>0，且a1＝S1＝(a1＋1/a1)/2，解得S1＝a1＝1，(S1)²＝1
所以(Sn)²是首项为1，公差为1的等差数列
2.
n≥2时，(Sn)²＝S1＋(n-1)＝n，而Sn>0，得Sn＝√n
an＝Sn－S(n-1)＝√n－√(n-1)，而n＝1时上式也成立
故an＝√n－√(n-1)，n∈N