一题高三的数学题
设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a大于0为常数(1)解不等式f(x)小于0(2)试探求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值
参考答案:答：
（1）f(x)<0
a>0，当0<a<1，x≥a时，a/(1-a)>x≥a
a>0，当x≤a时，a/(1+a)<x≤a
（2）a>0，当x=(1+a)/2时，f(x)存在最小值=-(1+a^2)/2
解：
f(x)=|x-a|-ax，a>0,a为常数
（1）f(x)<0
|x-a|-ax<0
(a)x≥a>0
f(x)=x-a-ax<0
x<a/(1-a)
a/(1-a)>x≥a,
因a>0，x>0,故0<a<1
(b)x≤a
f(x)=a-x-ax=a-(1+a)x<0
x>a/(1+a)
a/(1+a)<x≤a,
(2)f(x)=|x-a|-ax=y
|x-a|-ax=y
|x-a|=ax+y
|x-a|^2=(ax+y)^2
(ax)^2+2a(y+1)x+y^2-a^2=0
△=[2a(y+1)]^2-4*a^2*(y^2-a^2)≥0
y≥-(1+a^2)/2<0
f(x)的最小值=-(1+a^2)/2
检验：
当x≥a>0，0<a<1时
f(x)=x-a-ax=-(1+a^2)/2<0
x=（a-1）/2<0
可知x≥a>0，0<a<1时，f(x)不存在最小值。
当x≤a，a>0时
f(x)=a-(1+a)x=-(1+a^2)/2
x=(1+a)/2>0
故a>0，x=(1+a)/2时，f(x)存在最小值=-(1+a^2)/2