不等式证明
1. a,b,c是三角形三边长，且a+b+c=2s,求证a^n/(b+c)+b^n/(a+c)+c^n/(a+b)大于等于(2/3)^(n-2)*s^(n-1).
2. a,b,c均为正实数，求证(a^3+b^3+abc)^(-1)+(b^3+c^3+abc)^(-1)+(c^3+a^3+abc)^(-1)小于等于(abc)^(-1).
参考答案:1、
利用3个结论：
（1）切比雪夫不等式：
若 a1 >= a2 >= ... >= an， b1 >= b2 >= ... >= bn
则：n*(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) >= (a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)
（2）平均不等式：
(a^n + b^n + c^n)/3 >= [ (a + b + c)/3 ]^n
（3）
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2
这个先证明一下：
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
= (a+b+c)/(a+b) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) - 3
= (a + b + c) * ( 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ) - 3
= 0.5 * (a+b+b+c+c+a)*[ 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ] - 3
>= 0.5 * { 3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3 } * { 3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3 } - 3
= 0.5 * 3 * 3 - 3
= 3/2
原题目的证明如下：
根据a、b、c的对称性，不妨假设 a >= b >= c，则：
1/(b+c) >= 1/(a+c) >= 1/(a+b)
因此：
a^(n-1) >= b^(n-1) >= c^(n-1)
a/(b+c) >= b/(a+c) >= c/(a+b)
根据切比雪夫不等式，有：
a^n/(b+c)+b^n/(a+c)+c^n/(a+b)
= a^(n-1)*(a/(b+c)) + b^(n-1)*(b/(a+c)) + c^(n-1)*(c/(a+b))
>= 1/3 * ( a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1) ) ( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
>= [ (a + b + c)/3 ]^(n-1) * ( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
= (2s/3)^(n-1) * ( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
>= (2s/3)^(n-1) * 3/2
= (2/3)^(n-2)*s^(n-1)
2、
先证明 a^3 + b^3 >= a^2*b + a*b^2
因为：
a^3 + b^3 - （a^2*b + a*b^2）
= a^2*(a - b) - b^2*(a - b)
= (a^2 - b^2)(a - b)
= (a + b)(a _ b)^2 >= 0
所以：a^3 + b^3 >= a^2*b + a*b^2
所以：
abc/(a^3+b^3+abc) + abc/(b^3+c^3+abc) + abc/(c^3+a^3+abc)
<= abc/(ba^2+ab^2+abc) + abc/(cb^2+bc^2+abc) + abc/(ac^2+ca^2+abc)
= c/(a+b+c) + a/(a+b+c) + b/(a+b+c)
= 1
所以：
1/(a^3+b^3+abc) + 1/(b^3+c^3+abc) + 1/(c^3+a^3+abc) <= 1/abc