数学题，盼详细解答。急！
甲、乙、丙3名运动员囊获了全部比赛的前三名，他们的总分分别是8、7和17分，甲得了一个第一名。已知：第一名的得分大于第二、第三名得分之和，各个项目比赛总分相等。问：比赛共有几个项目？三人在各个项目中各得几分？
参考答案:总分8+7+17=32，32＝2×16＝4×8＝1×32
当只有一个项目时，甲得8分是第一，显然不对。
当有2个项目时，每个项目前三名总分为16，每个人得两个奖，甲得了一个第一，所以8分中有一个第一，而总分为16，第一名得分小于8，所以不能满足第一名的得分大于第二、第三名得分之和这一条，所以排除！
当有4个项目时，总分为8，也就是得1，2，3名共8分，现在甲有一个第一，所以剩下三项不可能有第二名，如果有一个第二名，那么他的总分肯定大于8。因此他得了个第一，3个第三。
而分析：8＝6＋2＝5＋3＝4＋4
从第一名的得分大于第二、第三名得分之和可知：
第一名只能是6分，或者5分，而如果是6分的话，那么第二和第三分数一样没有意义，所以第二得分是5
那么第一是5分，第二是2分，第三是1分
甲得了一个第一，三个第三
乙得了三个第二，1个第三
丙得了3个第一，一个第二
一共4项
甲＝5＋1＋1＋1
乙＝2＋2＋2＋1
丙＝5+5+5+2