数学竞赛题。答对有奖
a,b为实数，关于x的方程｜X2+ax+b|=2有三个不等的实数根.
(1)求证：a2－4b-8=0;
(2)若该方程的三个不等实根恰为一个三角形三个内角度数值，求证该三角形必有一个内角是60度。
(3)若该方程的三个不等实根恰为一个直角三角行的三条边，求a,b的值.
参考答案:解：
(1)当x^2+ax+b=2时，x^2+ax+b-2=0............①
所以根据求根公式：
x1 = [-a+√(a^2-4b+8)]/2 , x2 = [-a-√(a^2-4b+8)]/2
当x^2+ax+b=-2时，x^2+ax+b+2=0.........②
x1= [-a+√(a^2-4b-8)]/2 ,x2= [-a-√(a^2-4b-8)]/2
依题意，只有三个不等实根。所以必有一个方程的判定式＝0.
当方程①的a^2-4b+8=0时，有a^2-4b=-8，则a^2-4b-8=-6，则方程②无解，则整个方程只有一个根。
所以只有当a^2-4b-8=0时，才满足题意。得证。
(2)由(1)知，a^2-4b-8=0.
由方程1得：x1=[-a+√(a^2-4b+8)]/2,x2=[-a-√(a^2-4b+8)]/2.
由方程2得：x3=-a/2
又因为三个根为一个三角形的三个内角，依三角形内角和公式有：
x1+x2+x3=180，
即[-a+√(a^2-4b+8)]/2 + [-a-√(a^2-4b+8)]/2 + (-a/2) = 180
上式＝-3a/2=180,所以a=-120
所以x3=-a/2=60,得证。
(3)比较三个根的大小，易得:
[-a+√(a^2-4b+8)]/2≥-a/2≥[-a-√(a^2-4b+8)]/2，
即x1≥x3≥x2
又因为三根为直角三角形三边，则x1为斜边,有：
x1^2=x3^2+x2^2
即{[-a+√(a^2-4b+8)]/2}^2={[-a-√(a^2-4b+8)]/2}^2+(-a/2)^2
化简得：a^2+4a√(a^2-4b+8)=0..........③
又由(1)得：a^2-4b=8.........④
③，④二个方程联立解得：a=-16,b=62