数学的数列问题

已知数列A满足A1=1，An=3^(n-1)+A(n-1) (n大于等于2)

求证：An=(3^(n)-1)/2

解：因为A1=1，An=3^(n-1)+A(n-1) (n大于等于2)

即An={[(3^(2-1)+1]+[3^(3-1)+(3^(2-1)+1]+[3^(4-1)+3^(3-1)+(3^(2-1)+1]……

={2×[(3^(2-1)+1]+2×3^(3-1)+2×3^(4-1)……+3^(n-1)

=2×[3+3^2+3^3+3^4……3^(n-2)+1]+3^(n-1)

=2×{1+3×[1-3^(n-2)]/(1-3)}+3^(n-1)

=2×{1+[3^(n-1)-3]/2}+3^(n-1)

=2·3^(n-1)-1

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