高一数学T
已经知道二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x)
1)求函数f(x)的表达式
2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数解
分析下
参考答案:1.f1(x)=ax^2，将(1,1)代入得a＝1，f1(x)=x^2
f2(x)=k/x，由于交点在y＝x上把(x,x)带入得x^2=k，而两点间距离为根号2乘以|2x|，
于是平方后64＝8k，k＝8，得f2(x)=8/x，f(x)=x^2+8/x
2.f(x)=f(a)，即方程x^2+8/x=a^2+8/a，
通分去分母，ax^3+8a=xa^3+8x，于是ax(x^2-a^2)+8(a-x)=0
提公因式，(x-a)(ax^2-xa^2-8)=0
x＝a为其一解，而方程ax^2-xa^2-8＝0的判别式△＝a^4+32a在a>3时大于0
于是后面方程有两个实数解，且x＝a代入之不成立，即后面方程的两个解与x＝a不同，于是原方程有三个实数解