一道数列证明题求解
证明:(1+2+3+...+n)^2=1^3+2^3+3^3+...+n
如果用的是数学归纳法的话请尽量把步骤和说明详细写出.最好有其他方法.本人是高一数学水平.
另外希望大家能告诉我一些比较好的数学论坛,以便我以后遇到数学问题不用在这里问...毕竟王朝知道比较综合而不够专业.(当然解决一些生活上和各方面基本操作的问题王朝知道还是很好用D)
参考答案:下面提供三种解法:
1、数学归纳法:
(1)当n=1时,命题显然成立.
(2)假设n=k时,命题成立.则
(1+2+3+...+k)^2=1^3+2^3+3^3+...+k^3
当n=k+1时,
(1+2+3+…+(k+1))^2
=(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^2+2*(1+2+3+...+k)*(k+1)
=1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^2+k*(k+1)^2
=1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3
即n=k+1时命题成立.
由(1)(2)知命题对一切非零自然数均成立
2、裂项相消法:
公式：1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
故上题又可这样做
n^3=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]/4-3n^2-2n
下面就简单了
n个式子相加后,代入上面那个公式，则
1^3+2^3+3^3+...+n^3
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4-n(n+1)(2n+1)/2-n(n+1)
=n(n+1)[(n+2)(n+3)/4-(2n+1)/2-1]
=[n(n+1)/2]^2
=(1+2+3+...+n)^2
3、待顶定系数法：
有一个定理这边就不证了，直接给出
1^k+2^k+3^k+...+n^k=f(n)
f(n)为n的k+1阶多项式。（证明请找高中竞赛书中，讲特征根解法的那一章）
所以我们可以先求出前面几项代入解即可。
数学论坛在中国好象没怎么听说过。
你还是找个家教比较好，如果和我同一个城市（合肥或泉州）的话，我可以提供服务。