高中一年级数学
有没有高手可以帮我总结出高中一年级数学不等式方面的一些典型例题及其解法，希望是能完整和详尽一些的。谢谢。如果做得好感激不尽，必定加分感谢。
参考答案:http://www.cnmaths.com/xinkb/UploadFiles/200612/20061206170451175.rar
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普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]
§3.4.1第1 0课时 基本不等式的证明（1）
教学目标
（1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；
（2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。
教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。
教学过程
一．问题情境
1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么 并非物体的重量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为 。
2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？
二．学生活动
引导学生作如下思考：
（1）把两次称得的物体的质量“平均”一下：
（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为 ，物体的质量为 ，则 ，①
，②，①，②相乘在除以 ，得
（3） 与 哪个大？
三．建构数学
1．算术平均数与几何平均数：设 为正数，则 称为 的算术平均数， 称为 的几何平均数。
2．用具体数据验证得：
基本不等式：
即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。
下面给出证明：
证法1：
当且仅当 即 时，取“ ”。
证法2： 要证 ，只要证
只要证 ，只要证
因为最后一个不等式成立，所以 成立，当且仅当 即 时，取“ ”。
证法3：对于正数 有 ，
3．说明：（1）基本不等式成立的条件是：
（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）
（3） 的几何解释：（如图1）以 为直径作圆，在直径 上取一点 ， 过 作弦 ，则 ，
从而 ，而半径
（4）当且仅当 时，取“ ”的含义：一方面是当 时取等号，即
；另一方面是仅当 时取等号，即
。
（5）如果 ，那么 （当且仅当 时取“ ”）．
四．数学运用
1．例题：
例1．设 为正数，证明下列不等式成立：
（1） ； （2）
证明：（1）∵ 为正数，∴ 也为正数，由基本不等式得
∴原不等式成立。
（2）∵ 均为正数，由基本不等式得 ，∴原不等式成立。
例2．已知 为两两不相等的实数，求证：
证明：∵ 为两两不相等的实数，
∴ ， ， ，
以上三式相加：
所以， ．
例3．已知 都是正数，求证 ．
证明：由 都是正数，得：
，
， ∴ ，
即 ．
例4．求证： ．
证明：∵ ， 又 ， ∴ ，
∴ ，
即 ．
2．练习：
1.给出下列结论：
（1）若 则
（2）若 则
（3）若 ，则
（4）若 ，则
其中正确的有
2．课本
五．回顾小结：
1．算术平均数与几何平均数的概念；
2．基本不等式及其应用条件；
3．不等式证明的三种常用方法。
六．课外作业： 3 1，2，3，5
补充：
1． 已知 都是正数，求证： ；
2．已知 都是正数，求证： ．
普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]
§3.4.1第11课时 基本不等式的证明（2）
教学目标
（1）进一步掌握基本不等式；
（2）会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
教学重点，难点
基本不等式的灵活运用。
教学过程
一．问题情境
1．情境： （1）复习：基本不等式；
（2）练习：已知 ，求证：
2．基本不等式除了常用于证明不等式外，还经常用于求某些函数的最大值或最小值。
二．建构数学
已知 都是正数，
①如果积 是定值 ，那么当 时，和 有最小值 ；
②如果和 是定值 ，那么当 时，积 有最大值 ．
证明：∵ ， ∴ ，
①当 (定值)时， ∴ ，
∵上式当 时取“ ”， ∴当 时有 ；
②当 (定值)时， ∴ ，
∵上式当 时取“ ” ∴当 时有 ．
说明：①最值的含义（“ ”取最小值，“ ”取最大值）；
②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
三．数学运用
1．例题：
例1．（1）求 的最值，并求取最值时的 的值。
解：∵ ∴
于是 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值是 ，此时 ．
（2）若上题改成 ，结果将如何？
解：∵ ，于是 ，
从而 ，∴ 的最大值是 ，此时 ．
例2．求 的最大值，并求取时的 的值。
解：∵ ，∴ ，∴
则 ，当且仅当 ，即 时取等号。
∴当 时， 取得最大值4。
例3．若 ，则 为何值时 有最小值，最小值为多少？
解：∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ =
，当且仅当 即 时
例4．若 ，求 的最小值。
解：∵ ，∴
当且仅当 ，即 时取等号，
∴当 时， 取最小值
2．练习：（1）若 ，求 的最值；
（2）下列函数中，最小值是 的是 （ ）
，
四．回顾小结：
1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；
（2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。
五．课外作业：课本 4 ， 习题3 .4 4
补充：1．已知 ，求 的最大值，并求相应的 值。
2．已知 ，求 的最大值，并求相应的 值。
3．已知 ，求函数 的最大值，并求相应的 值。
4．已知 求 的最小值，并求相应的 值。
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