一条高中函数题。
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体,存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立。
(1)求f(x)=x是否属于集合M?说明理由。
(2)设f(x)∈M,且T=2,已知当1<x<2时,f(x)=x+ln x ,求当-3<x<-2时,f(x)的解析式。
参考答案:1、不属于,因为对于任意的T,总存在x,使得f(x+T)不等于Tf(x),
具体说来,f(x+T)=x+T,而Tf(x)=T*x,取x=0,则f(x+T)=T,Tf(x)=0,
又由已知,T为非零常数,所以左边和右边不相等
2、T=2,所以f(x+2)=2f(x),f(x+4)=2f(x+2)=2*2f(x)=4f(x),
而,-3<x<-2时,1<x+4<2,所以f(x+4)=(x+4)+ln(x+4),
即,-3<x<-2时,f(x)=f(x+4)/4=(x+4)/4+1/4*ln(x+4)