求解二道初ニ数学题
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参考答案:1
AE:EB
=AC:BC(角平分线)
=CD:CA(相似)
=DO:OA(角平分线)
=BF:AF(平行)
所以
AE:(AE+EB)=BF:(BF+AF)
即
AE:AB=BF:AB
所以
AE=BF
2
设BD=x CM,则
tan∠BDM=BM:BD=2:x
tan∠CDN=CN:CD=4:x
tan(∠BDM+∠CDN)=tan60度
(2/x+4/x)/(1-2/x*4/x)=根号3
化简
x^2-2根号3x-8=0
x=根号3+根号11
AB=根号3x=3+根号33
所以
AM=根号33+1
AN=根号33-1
在三角形AMN中用余弦定理求MN
MN=6
还没有想到简单方法。。。
我又想了一下第二题
其实，如果以D为圆心，BD为半径作圆，MN必然是与圆相切的，如果连接D与切点，很容易就能算出MN=BM+CN=6。但问题是，如果你先告诉我MN是切线，我很容易就能证明∠MDN=60度，但反过来由∠MDN=60度，却不容易推出MN与圆相切。所以暂时还没有能想出简便方法。
这个题挺有意思的，也许还有别的方法。
根据上面这个想法，我想了一个新的方法。
先以D为圆心，BD为半径作圆，AB，AC都是切线（因为垂直于半径）。
过M作圆D的切线，切点为P，交AC于N2，连接DP
BM=PM
三角形BDM和PDM全等
∠BDM=∠PDM
同理
∠CDN2=∠PDN2
所以∠MDN2=0.5∠BDC=60度
又因为∠MDN=60度
所以N与N2重合
MP=MB=2CM
NP=NC=4CM
MN=MP+NP=6CM
这样做不知道你是不是更好理解