一道数学题 有加分
设函数f(x)对于任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
1、证明f(x)为奇函数
2、证明f(x)在R上为减函数
3、若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求x的取值范围
参考答案:令x=y=0
所以f(0)=f(0)+f(0)也就是f(0)=0
然后令y=-x
所以f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以f(-x)=-f(x)所以f(x)为奇函数
令x=a,y=b-a,a>b
所以f(b)=f(a)+f(b-a)所以f(a)-f(b)=-f(b-a)=f(a-b)
因为a-b>0所以f(a-b)<0
所以f(a)-f(b)<0
所以f(x)在R上单调递减
f(2)=2f(1)=-4所以f(-2)=4
f(2x+5)+f(6-7x)=f(11-5x)>f(-2)由于是减函数
所以11-5x<-2所以x>13/5